解答・解説[6](1)
\(y=f(x)上の点(t,f(t))における接線の方程式を求める\)
\(f(x)=\displaystyle \frac{x-a}{e^x}より、\)
\(微分をして\)
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=& \frac{1・e^x-(x-a)e^x}{(e^x)^2} \\[3mm]
f'(x)&=& \frac{1-(x-a)}{e^x} \\
\end{eqnarray*}
\(接線の式より\)
\begin{eqnarray*}
y&=&f'(t)(x-t)+f(t) \\[3mm]
&=& \frac{1-(t-a)}{e^t}(x-t)+ \frac{t-a}{e^t} \\
\end{eqnarray*}
\((0,0)を通るのでxとyにそれぞれ0を代入していく\)
\begin{eqnarray*}
0&=& \frac{1-t-a}{e^t}(-t)+ \frac{t-a}{e^t} \\[3mm]
0&=& \frac{-t+t^2+at}{e^t}+ \frac{t-a}{e^t} \\[3mm]
0&=& \frac{t^2-ta-a}{e^t} \\
\end{eqnarray*}
\(e^t>0より
t^2-ta-a=0 …①\)
\(原点を通る接線がただ1つのとき、①を満たす実数はただ1つの実数解、すなわち重解をもつ \\
よって①の判別式をDとするとD=0 …②\)
\begin{eqnarray*}
D &=& a^2-4・1・(-a)\\
&=& a^2+4a\\
\end{eqnarray*}
\(②より\)
\begin{eqnarray*}
a^2+4a&=&0 \\
a(a+4)&=&0 \\
a\ne 0より、a&=&-4
\end{eqnarray*}
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